对数回归模型的参数估计

一、问题：

给定一数据点的集合：{(x_i, y_i) | y_i > 0, i = 1, 2, …, n }。现在使用对数函数 y = α * ln(x) +  β 对其进行拟合，使得拟合的误差平方和最小。求能达到此目标的α、β值。

二、解决方案：

看到对数函数模型的表达式，很容易想起线性函数模型的表达式：y = α * x +  β。于是，很自然地先对原始数据点的x分量做对数变换：

z_i = ln(x_i)

这样，对数回归模型的参数估计问题，就转换成了线性回归模型（y = α * z_i +  β）的参数估计问题，而后者已经解决了，参见《数据点的最小二乘线性拟合》。

由《数据点的最小二乘线性拟合》的解决方案可知：

将以上的z_i用ln(x_i)替换，便得到了最终的α和β值：

即：

三、应用：

在实际应用中，先对给定的x值求对数，然后用对数化的x值和原y值组成的数据点列，进行线性回归拟合。

在线统计计算器，就是使用这种方法，对数据进行对数回归拟合的。

使用截图：